En este momento estás viendo Clase 9 de Álgebra – Multiplicación Algebraica

Clase 9 de Álgebra – Multiplicación Algebraica

Compártelo:
Rating: 4.60/5. From 5 votes.
Please wait...

Loading

Multiplicación Algebraica

En álgebra al igual que en aitmética se llevan a cabo las 4 operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. En este caso hago referencia a la multiplicación algebraica. Este tema es uno de los más relevantes en el álgebra ya que la mayoría de las expresiones algebraicas son resultado de una de las 4 operaciones fundamentales y entre tales operaciones la indispensable multiplicación algebraica o también conocida por otros como el producto algebraico.

Se emplearán las leyes de los signos como también las leyes de los exponentes.

Monomio por monomio

Ejemplo 1:

(-4x^2)(7x^3) = (-4)(7)x^{2+3}

se multiplican los coeficientes tomando en cuenta las leyes de los signos. Luego se aplican las leyes de los exponentes que en este caso se suman los exponentes.

(-4x^2)(7x^3) = -28x^5

Ejemplo 2:

(5x^7)(8x^4) = (5)(8)x^{7+4}

de nuevo multiplicamos los coeficientes los cuales ahora son el 5 y el 8. Después sumamos los exponentes que para este caso son el 7 y el 4.

(5x^7)(8x^4) = 40x^{11}

Ejemplo 3:

-3x^2 5x^6 = (-3)(5)x^{2+6}

como puedes darte cuenta, en esta expresión de multiplicación algebraica no se usaron paréntesis para los dos monomios porque es posible expresarlo así sin afectar la implicación de una multiplicación algebraica.

Pero se debe tener cuidado con la omisión de los paréntesis. Por ejemplo, si decidieras poner en segundo lugar al monomio con signo negativo entonces estarías obligada u obligado a colocar a este segundo monomio dentro de paréntesis. De no colocarlo dentro de paréntesis dejaría de entenderse como una multiplicación algebraica y en su lugar se entendería como una resta algebraica.

Mira cómo se miraría invirtiendo el orden de los factores sin colocar dentro de paréntesis al segundo monomio,

5x^6 -3x^2 = 5(-3)x^{6+2}

esto parece una resta algebraica y podemos aclarar que es una multiplicación algebraica si colocamos al segundo monomio dentro de paréntesis tomando la siguiente expresión,

5x^6 (-3x^2) = 5(-3)x^{6+2}

compara ésta última expresión con la anterior y verás la gran diferencia que dan el uso apropiado de paréntesis.

Finalmente, el resultado quedaría como,

5x^6 (-3x^2) = -15x^8

Ejemplo 4:

-9x^{12} (-7x^4) = -9(-7)x^{12+4}

dos coeficientes negativos,

-9x^{12} (-7x^4) = 63x^{16}

debido a que (-)(-) = + por eso tenemos un 63 positivo.

Ejemplo 5:

-5x^8 12x^{-3} = (-5)(12)x^{8-3}

aquí vemos interacción de exponentes negativos y positivos.

-5x^8 12x^{-3} = -60x^5

Monomio por binomio

Ahora el caso de monomio por binomio de la multiplicación algebraica. Veremos el procedimiento a seguir en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6:

5x^3(-2x^2 + 7x) = 5x^3(-2x^2) + 5x^3(7x)

cada uno de los 2 términos del binomio son multiplicados por separado teniendo cuidado con los signos de cada uno de los factores que representan los términos.

A fin de cuentas se reduce a la multiplicación algebraica inicial, productos de monomios por monomios.

5x^3(-2x^2 + 7x) = 5(-2)x^{3+2} + 5(7)x^{3+1}

y de esta manera obtenemos lo siguiente,

5x^3(-2x^2 + 7x) = -10x^5 + 35x^4

solo se multiplicaron los coeficientes obedeciendo a las leyes de los signos y luego se sumaron los exponentes obedeciendo las leyes de los exponentes.

Ejemplo 7:

-2x^2(5x^3 - 9) = -2x^2(5x^3)  - 2x^2(-9)

reordenamos los coeficientes y los exponentes,

-2x^2(5x^3 - 9) = -2(5)x^{2+3}  - 2(-9)x^2

observa que en el segundo producto se conservó la x cuadrada ya que el -9 no tiene x, o tiene x con potencia cero.

Por ende, esto se transforma a lo siguiente,

-2x^2(5x^3 - 9) = -10x^5  + 18x^2

Ejemplo 8:

7x(-3x + 5) = 7x(-3x)  + 7x(5)

reacomodamos coeficientes,

7x(-3x + 5) = 7(-3)x^{1+1}  + 7(5)x

llevamos a cabo las operaciones de multiplicación de los coeficientes y las suma de los exponentes,

7x(-3x + 5) = -21x^2  + 35x

Ejemplo 9:

x(17 - x) = x(17)  + x(-x)

es una expresión muy simple pero debes tener cuidado con el orden de los signos.

reacomodamos coeficientes y exponentes,

x(17 - x) = 17x  - x^{1+1}

y finalmente reducimos,

x(17 - x) = 17x  - x^2

Ejemplo 10:

-89x^{12}(-4x^{-9} + 3x^2) = -89x^{12}(-4x^{-9}) - 89x^{12}(3x^2)

ahora puedes ver una expresión un poco más compleja pero no imposible.

seguimos el mismo procedimiento, reordenamos coeficientes como exponentes,

-89x^{12}(-4x^{-9} + 3x^2) = -89(-4)x^{12-9} - 89(3)x^{12+2}

y a continuación realizamos las operaciones correspondientes de multiplicación de coeficientes y la suma o resta de los exponentes,

-89x^{12}(-4x^{-9} + 3x^2) = 356x^3 - 267x^{14}

Binomio por binomio

El caso de la multiplicación algebraica de binomio por binomio es un versión reducida de polinomio por polinomio. Aquí trataremos la multiplicación algebraica de dos binomios de manera arbitraria, es decir, que no tengan características de productos notables, los cuales los veremos en la siguiente clase. Los siguientes ejemplos mostrarán este caso de una manera divertida.

Ejemplo 11:

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -8x^2(5x^3 - 3x) + 4(5x^3 - 3x)

notarás aquí cómo cada término del primer binomio multiplica por separado al segundo binomio.

Ahora cada término del primer binomio multiplica a cada término del segundo binomio,

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -8x^2(5x^3) - 8x^2(-3x) + 4(5x^3) + 4(-3x)

a continuación se reordenan los coeficientes y los factores con x,

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -8(5)x^2x^3 - 8(-3)x^2x + 4(5)x^3 + 4(-3)x

se ejecuta la multiplicación entre los coeficientes obedeciendo a las leyes de los signos y también agrupamos las x aplicando las leyes de los exponentes,

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -40x^{2+3} + 24x^{2+1} + 20x^3 - 12x

sumamos los exponentes,

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -40x^5 + 24x^3 + 20x^3 - 12x

y finalmente agrupamos por términos semejantes a los dos términos del medio,

(-8x^2 + 4)(5x^3 - 3x) = -40x^5 + 44x^3 - 12x

Monomio por polinomio

Es una generalización de cualquier multiplicación algebraica arbitraria en la que interactúan monomio y polinomio.

Ejemplo 12:

5x^2(7x^6 - 3x^5 + 8x^4 + 2x^3 - 9x^2 + 5x + 1) =

multiplicando hacia dentro del polinomio el monomio,

= 5x^2(7x^6) + 5x^2(-3x^5) + 5x^2(8x^4)

+ 5x^2(2x^3) + 5x^2(-9x^2) + 5x^2(5x) + 5x^2(1)

reacomodamos coeficientes y exponentes,

= 5(7)x^2x^6 + 5(-3)x^2x^5 + 5(8)x^2x^4

+ 5(2)x^2x^3 + 5(-9)x^2x^2 + 5(5)x^2x + 5(1)x^2

ejecutamos las multiplicaciones de los coeficientes y organizamos los exponentes,

= 35x^{2+6} - 15x^{2+5} + 40x^{2+4}

+ 10x^{2+3} - 45x^{2+2} + 25x^{2+1} + 5x^2

y finalmente sumamos los exponentes correspondientes,

= 35x^8 - 15x^7 + 40x^6 + 10x^5 - 45x^4 + 25x^3 + 5x^2

puedes observar que no se dio el caso de términos semejantes.

Polinomio por polinomio

La multiplicación algebraica más compleja pero que a fin de cuentas termina en una múltiple multiplicación entre los monomios que componen a cada uno de los polinomios en interacción. A continuación algunos casos sencillos de la multiplicación de polinomios.

Ejemplo 13:

    \[ (2x + 3)(4x - 1) \]

    \[ 2x \cdot 4x + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot 4x + 3 \cdot (-1) \]

    \[ 8x^2 - 2x + 12x - 3 \]

    \[ 8x^2 + 10x - 3 \]

Ejemplo 14:

    \[ (3y + 2)(y^2 - 5y + 1) \]

    \[ 3y \cdot y^2 + 3y \cdot (-5y) + 3y \cdot 1 + 2 \cdot y^2 + 2 \cdot (-5y) + 2 \cdot 1 \]

    \[ 3y^3 - 15y^2 + 3y + 2y^2 - 10y + 2 \]

    \[ 3y^3 - 13y^2 - 7y + 2 \]

Ejemplo 15:

    \[ (a + b)(a - b + 2) \]

    \[ a \cdot a + a \cdot (-b) + a \cdot 2 + b \cdot a + b \cdot (-b) + b \cdot 2 \]

    \[ a^2 - ab + 2a + ba - b^2 + 2b \]

    \[ a^2 + 2a - ab - b^2 + 2b \]

Ejemplo 16:

    \[ (x^2 + 4)(x - 1) \]

    \[ x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) \]

    \[ x^3 - x^2 + 4x - 4 \]

    \[ x^3 - x^2 + 4x - 4 \]

Ejemplo 17:

    \[ (2p - 3)(3p^2 + 2p - 1) \]

    \[ 2p \cdot 3p^2 + 2p \cdot 2p + 2p \cdot (-1) + (-3) \cdot 3p^2 + (-3) \cdot 2p + (-3) \cdot (-1) \]

    \[ 6p^3 + 4p^2 - 2p - 9p^2 - 6p + 3 \]

    \[ 6p^3 - 5p^2 - 8p + 3 \]

Ejemplo 18:

    \[(8x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 5x - 3)(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2)\]

Hacemos el siguiente procedimiento para hacer esta multiplicación algebraica compleja.

Procedimiento
1. Multiplicación del último término: Multiplicamos el último término del primer polinomio (-3) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ -3(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos el -3 a cada término del segundo polinomio:

    \[ -15x^5 - 6x^4 - 27x^3 + 9x^2 - 12x - 6 \]

2. Multiplicación del siguiente término: Ahora, multiplicamos el siguiente término del primer polinomio (-5x) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ -5x(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos el -5x a cada término del segundo polinomio:

    \[ -25x^6 - 10x^5 - 45x^4 + 15x^3 - 20x^2 - 10x \]

3. Multiplicación del siguiente término: Luego, multiplicamos el siguiente término del primer polinomio (-2x^2) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ -2x^2(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos el -2x^2 a cada término del segundo polinomio:

    \[ -10x^7 - 4x^6 - 18x^5 + 6x^4 - 8x^3 - 4x^2 \]

4. Multiplicación del siguiente término: Ahora, multiplicamos el siguiente término del primer polinomio (6x^3) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ 6x^3(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos 6x^3 a cada término del segundo polinomio:

    \[ 30x^8 + 12x^7 + 54x^6 - 18x^5 + 24x^4 + 12x^3 \]

5. Multiplicación del siguiente término: Luego, multiplicamos el siguiente término del primer polinomio (-3x^4) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ -3x^4(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos -3x^4 a cada término del segundo polinomio:

    \[ -15x^9 - 6x^8 - 27x^7 + 9x^6 - 12x^5 - 6x^4 \]

6. Multiplicación del primer término: Finalmente, multiplicamos el primer término del primer polinomio (8x^5) por todos los términos del segundo polinomio:

    \[ 8x^5(5x^5 + 2x^4 + 9x^3 - 3x^2 + 4x + 2) \]

Distribuimos 8x^5 a cada término del segundo polinomio:

    \[ 40x^{10} + 16x^9 + 72x^8 - 24x^7 + 32x^6 + 16x^5 \]

7. Sumar todos los términos obtenidos: Ahora, sumamos todos los términos obtenidos en los pasos anteriores:

    \[ -15x^5 - 6x^4 - 27x^3 + 9x^2 - 12x - 6 - 25x^6 - 10x^5 - 45x^4 + 15x^3 - 20x^2 - 10x \]

    \[ -10x^7 - 4x^6 - 18x^5 + 6x^4 - 8x^3 - 4x^2 + 30x^8 + 12x^7 + 54x^6 - 18x^5 + 24x^4 + 12x^3 \]

    \[ -15x^9 - 6x^8 - 27x^7 + 9x^6 - 12x^5 - 6x^4 + 40x^{10} + 16x^9 + 72x^8 - 24x^7 + 32x^6 + 16x^5 \]

8. Simplificar términos semejantes: Por último, combinamos términos semejantes y simplificamos para así tener el resultado final de esta multiplicación algebraica.

    \[ 40x^{10} - 15x^9 + 16x^8 - 10x^7 + 32x^6 - 33x^5 - 34x^4 + 16x^3 + 13x^2 - 20x - 6 \]

Ojalá le hayas entendido a este tema de la multiplicación algebraica. De todas maneras estoy para cualquier duda que tengas. Y no te olvides de aplicar el examen de este tema.

Gina Saucedo

Profesora de Matemáticas.