Clase 6 de Álgebra - Factorización de Radicales

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La factorización de radicales cuando usamos número es indispensable ya que con esto logramos representar raíces de números grandes en expresiones numéricas más simples. Con esto ganamos una expresión mucho más entendible de los problemas. El objetivo del álgebra elemental es jústamente transformar cantidades o expresiones complejas a formas más sencillas.

Contenido

1 Factorización de Radicales
2 Ejemplo 1:
3 Ejemplo 2:
4 Ejemplo 3:
5 Ejemplo 4:
6 Ejemplo 5:
7 Ejemplo 6: Nivel Dios 🙂
8 Ejemplo 7:
9 Ejemplo 8: Nivel Dios 🙂
10 Ejemplo 9:
11 Ejemplo 10: Lo simple
12 Examen 6 de factorización de radicales

Factorización de Radicales

Veamos algunos ejemplos que suelen aparecer en las expresiones algebraicas. Normalmente la factorización de radicales numéricos hacen que una raíz de un número grande se vuelva el producto de dos raíces de menor grado de manera conveniente.

Ejemplo 1:

$\sqrt[2]{500} = \sqrt[2]{(100)(5)}$

escogí al 100 por 5 porque el 100 tiene raíz exacta. Esto es el motivo de la factorización en dos o más números del radicando(número dentro de la raíz). Al menos uno de ellos debe tener raíz entera.

$\sqrt[2]{(100)(5)} = \sqrt[2]{100}\sqrt[2]{5}$

$\sqrt[2]{100}\sqrt[2]{5} = 10\sqrt[2]{5}$

Ejemplo 2:

$\sqrt[3]{270} = \sqrt[3]{(27)(10)}$

$\sqrt[3]{(27)(10)} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{10}$

vemos que el 27 tiene raíz cúbica entera,

$\sqrt[3]{27} = 3$

entonces,

$\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{10} = 3\sqrt[3]{10}$

Ejemplo 3:

$\sqrt[4]{320} = \sqrt[4]{(16)(20)}$

$\sqrt[4]{(16)(20)} = \sqrt[4]{16}\sqrt[4]{20}$

y como sabemos que la raíz cuarta de 16 es el 2,

$\sqrt[4]{16} = 2$

entonces la expresión se reduce,

$\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{20} = 2\sqrt[4]{20}$

Ejemplo 4:

$\sqrt[3]{810} = \sqrt[3]{(27)(30)}$

$\sqrt[3]{(27)(30)} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{30}$

y sabemos que,

$\sqrt[3]{27} = 3$

entonces se reduce a,

$\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{30} = 3\sqrt[3]{30}$

$\sqrt[3]{810} = 3\sqrt[3]{30}$

Ejemplo 5:

$\sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{(243)(2)}$

$\sqrt[5]{(243)(2)} = \sqrt[5]{243}\sqrt[5]{2}$

y considerando que,

$\sqrt[5]{243} = 3$

entonces,

$\sqrt[5]{243}\sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2}$

$\sqrt[5]{486} = 3\sqrt[5]{2}$

Ejemplo 6: Nivel Dios 🙂

$\sqrt[2]{\frac{490}{343}} = \frac{\sqrt[2]{490}}{\sqrt[2]{343}}$

$\frac{\sqrt[2]{490}}{\sqrt[2]{343}} = \frac{\sqrt[2]{(49)(10)}}{\sqrt[2]{(49)(7)}}$

$\frac{\sqrt[2]{(49)(10)}}{\sqrt[2]{(49)(7)}} = \frac{\sqrt[2]{49}\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{49}\sqrt[2]{7}}}$

$\frac{\sqrt[2]{49}\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{49}\sqrt[2]{7}}} = \frac{\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{7}}}$

$\frac{\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{7}}} = \sqrt[2]{\frac{10}{7}}$

$\sqrt[2]{\frac{490}{343}} = \sqrt[2]{\frac{10}{7}}$

Ejemplo 7:

$\sqrt[3]{\frac{5400}{8100}} = \sqrt[3]{\frac{54}{81}}$

primero se quitaron los dos ceros del 5400 y del 8100.

$\sqrt[3]{\frac{54}{81}} = \sqrt[3]{\frac{(27)(2)}{(27)(3)}}$

se eliminan los 27 y queda,

$\sqrt[3]{\frac{(27)(2)}{(27)(3)}} = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Por ende,

$\sqrt[3]{\frac{5400}{8100}} = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

o si se requiere,

$\sqrt[3]{\frac{5400}{8100}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$

Ejemplo 8: Nivel Dios 🙂

$\sqrt[5]{\frac{2048}{729}} = \sqrt[5]{\frac{(1024)(2)}{(243)(3)}}$

$\sqrt[5]{\frac{(1024)(2)}{(243)(3)}} = \sqrt[5]{\frac{1024}{243}}\sqrt[5]{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{\frac{1024}{243}}\sqrt[5]{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt[5]{1024}}{\sqrt[5]{243}}\sqrt[5]{\frac{2}{3}}$

de aquí vemos que las raíces quintas de 1024 y 243 son números enteros,

$\sqrt[5]{1024} = 4$

$\sqrt[5]{243} = 3$

por lo tanto,

$\frac{\sqrt[5]{1024}}{\sqrt[5]{243}}\sqrt[5]{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt[5]{\frac{2}{3}}$

Ejemplo 9:

$\sqrt[4]{\frac{160}{169}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{\frac{160}{169}}}$

primero se descompuso la raíz principal en dos raíces concatenadas. Ahora factorizamos el radicando del numerador. El del denominador no lo factorizamos porque tiene raíz cuadrada entera.

$\sqrt[2]{\sqrt[2]{\frac{160}{169}}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{\frac{(16)(10)}{169}}}$

y luego separamos las raíces del numerador y el denominador,

$\sqrt[2]{\sqrt[2]{\frac{(16)(10)}{169}}} = \sqrt[2]{\frac{\sqrt[2]{16}\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{169}}}$

hay dos raíces enteras,

$\sqrt[2]{16} = 4$

$\sqrt[2]{169} = 13$

entonces,

$\sqrt[2]{\frac{\sqrt[2]{16}\sqrt[2]{10}}{\sqrt[2]{169}}} = \sqrt[2]{\frac{4\sqrt[2]{10}}{13}}$

ahora podemos aplicar la última raíz cuadrada a todo por separado,

$\sqrt[2]{\frac{4\sqrt[2]{10}}{13}} = \sqrt[2]{4}\frac{\sqrt[2]{\sqrt[2]{10}}}{\sqrt[2]{13}}$

finalmente tenemos,

$\sqrt[2]{4}\frac{\sqrt[2]{\sqrt[2]{10}}}{\sqrt[2]{13}} = 2\frac{\sqrt[4]{10}}{\sqrt[2]{13}}$

o también,

$\sqrt[4]{\frac{160}{169}} = 2\frac{\sqrt[4]{10}}{\sqrt[2]{13}}$

podrías pensar: ¿Para qué complicarse tanto si inicialmente estaba más simple? La respuesta es para tener más factores que después en una expresión algebraica compleja puede ser de mucha utilidad eliminándose y dejando así una expresión mucho más simple.

Ejemplo 10: Lo simple

$\frac{5}{\sqrt[2]{5}} = \frac{\sqrt[2]{25}}{\sqrt[2]{5}}$

se construyó al 5 de la siguiente manera conveniente,

$5 = \sqrt[2]{25}$

ahora, la parte de la derecha se puede expresar de la siguiente manera,

$\frac{\sqrt[2]{25}}{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[2]{\frac{25}{5}}$

luego dentro de la raíz 25/5 = 5,

$\sqrt[2]{\frac{25}{5}} = \sqrt[2]{5}$

por lo tanto,

$\frac{5}{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[2]{5}$

entonces hay una ley general de los radicales que funciona de la siguiente manera,

$\frac{x}{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[m]{x^{m-1}}$

espero que hayas entendido este importante material.

Examen 6 de factorización de radicales

Haz pronto el examen 6 de factorización de radicales para que retengas los conceptos. Igual este examen lo puedes hacer en el siguiente link pero tendrás que registrarte con un email ya que requiere este dato para llevar un seguimiento de tu avance. Todo eso aun es gratuito. Más adelante podría ser de pago.