Clase 4 de Álgebra - Leyes de los Exponentes

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Leyes de los exponentes

Cuando requerimos hacer las 4 operaciones fundamentales en aritmética necesitamos seguir propiedades numéricas. En álgebra podemos llevar a cabo éstas 4 operaciones fundamentales: Suma, Resta, Multiplicación y División. Cuando así sea necesitaremos conocer a fondo las leyes de los exponentes.

A continuación una lista de las leyes de los exponentes:

$x^{m} x^{n} = x^{m + n}$
$(x^{m})^{n} = x^{m n}$
$(x y)^{m} = x^{m} y^{m}$
$\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$
$x^{-m} = \frac{1}{x^{m}}$
$x^{0} = 1$

En seguida veremos algunos ejemplos con estas leyes de los exponentes.

Ejemplo 1:

$x^{4} x^{3} = x^{4 + 3}$

$x^{4} x^{3} = x^{7}$

como pudiste notarlo, el valor de m = 4 y el valor de n = 3 de la primera ley de los exponentes de la lista citada anteriormente.

Ejemplo 2:

$5x^{2} 8x^{7} = (5)(8)x^{2 + 7}$

$5x^{2} 8x^{7} = 40x^{9}$

vean cómo los coeficientes (5) y (8) quedan multiplicándose y las x se cambian por una sola x con los exponentes sumados.

Ejemplo 3:

$-9x^{3} 5x^{4} = (-9)(5)x^{3 + 4}$

$-9x^{3} 5x^{4} = -45x^{7}$

aquí los dos coeficientes (-9) y el (5) también se multiplican. No hay que olvidar las leyes de los signos para hacer la operación de multiplicación de manera correcta.

Ejemplo 4:

$6x^{5} (-4x^{6}) = (6)(-4)x^{5 + 6}$

$6x^{5} (-4x^{6}) = -24x^{11}$

Nota cómo al segundo término lo pusimos entre paréntesis porque solo de esta manera podemos distinguir de la resta con la multiplicación en caso de no poner el paréntesis pese a que después del primer factor hay un signo negativo del segundo factor. Por eso es muy importante que entiendas cómo se usan los signos de agrupación.

Ejemplo 5:

$-2x^{-5} (-3x^{9}) = (-2)(-3)x^{-5 + 9}$

$-2x^{-5} (-3x^{9}) = 6x^{4}$

ahora los dos coeficientes (-2) y (-3) son negativos y su multiplicación es positiva según las leyes de los signos. También los exponentes, el primero es negativo (-5) y al sumarse o restarse con el segundo (9) nos queda un número positivo (4).

Ejemplo 6:

$(x^{2})^{3} = x^{(2)(3)}$

$(x^{2})^{3} = x^{6}$

los exponentes se multiplican y resulta en un exponente 6.

Ejemplo 7:

$(3x^{3})^{4} = 3^{4} x^{(3)(4)}$

$(3x^{3})^{4} = 81 x^{12}$

en este caso el coeficiente se eleva al exponente y nos da 81.

Ejemplo 8:

$(-2x^{2})^{5} = (-2)^{5} x^{(2)(5)}$

$(-2x^{2})^{5} = -32 x^{10}$

hay que tener cuidado cuando el signo del coeficiente sea negativo como en este caso. Si el exponente es impar y el coeficiente es negativo, el resultado tiene que dar negativo como en este caso que da un -32.

Ejemplo 9:

$(x y)^{3} = x^{3}y^{3}$

en este caso usamos la segunda de las leyes de los exponentes de la lista inicial.

Ejemplo 10:

$(5x 7y)^{2} = 5^{2} x^{2} 7^{2} y^{2}$

$(5x 7y)^{2} = 25 x^{2} 49 y^{2}$

$(5x 7y)^{2} = (25)(49) x^{2} y^{2}$

$(5x 7y)^{2} = 1225 x^{2} y^{2}$

en este caso se alarga mucho la solución puesto que tenemos coeficientes en las dos variables.

Ejemplo 11:

$\frac{x^{7}}{x^{5}} = x^{7 - 5}$

$\frac{x^{7}}{x^{5}} = x^{2}$

simplemente al exponente del numerador le restas el exponente del denominador. Debes tener cuidado cuando hay exponentes negativos y coeficientes.

Ejemplo 12:

$\frac{12x^{11}}{4x^{4}} = \frac{12}{4}x^{11-4}$

$\frac{12x^{11}}{4x^{4}} = 3 x^{7}$

observa cómo los coeficientes se dividen por separado y dan un 3.

Ejemplo 13:

$\frac{-27x^{8}}{3x^{3}} = \frac{-27}{3}x^{8-3}$

$\frac{-27x^{8}}{3x^{3}} = -9 x^{5}$

no hay que olvidar las leyes de los signos. En este caso dividimos a un número negativo entre un número positivo en los coeficientes y nos da un número negativo. Los exponentes se siguen manejando restándole al del numerador el del denominador.

Ejemplo 14:

$\frac{13x^{7}}{5x^{-2}} = \frac{13}{5}x^{7-(-2)}$

$\frac{13x^{7}}{5x^{-2}} = \frac{13}{5}x^{7+2}$

$\frac{13x^{7}}{5x^{-2}} = \frac{13}{5}x^{9}$

para este caso dejamos indicada la fracción puesto que su resultado no es un número entero. En el caso de los exponentes, vimos que el exponente del denominador es negativo. Al aplicarse la regla vemos que restamos un exponente negativo (menos menos) lo cual en la ley de los signos se vuelve una suma ya que menos por menos da un mas.

Ejemplo 15:

$\frac{2x^{-5}}{7x^{3}} = \frac{2}{7}x^{-5-3}$

$\frac{2x^{-5}}{7x^{3}} = \frac{2}{7}x^{-8}$

seguimos dejando indicada la fracción como tal porque no resulta en número entero. En el caso de los exponentes, el superior es negativo y a parte, se le resta el del denominador, por ende tenemos la resta de dos negativos y resulta en un número negativo en el exponente.

Ejemplo 16:

$x^{-5} = \frac{1}{x^{5}}$

los exponentes negativos pueden moverse al denominador volviéndose positivos tal como lo indica este ejemplo sencillo.

Ejemplo 17:

$9x^{-4} = \frac{9}{x^{4}}$

en este caso el coeficiente 9 se queda como numerador de la expresión algebraica.

Ejemplo 18:

$(2x)^{-3} = \frac{1}{(2x)^{3}}$

$(2x)^{-3} = \frac{1}{2^{3}x^{3}}$

$(2x)^{-3} = \frac{1}{8x^{3}}$

puedes observar cómo se alargó esta solución por el coeficiente de la x el cual se elevó a la 3 una vez estando en el denominador.

Ejemplo 19:

$(15x)^{0} = 1$

no importa lo grande o pequeña que sea la base con exponente cero, el resultado siempre es 1.

Ejemplo 20:

$(-1000000x)^{0} = 1$

aunque el valor del coeficiente sea negativo y muy grande, aun así el resultado es 1. La única restricción para esta ley es cuando la base es cero.

$0^{0} = indefinido$

tiene lógica porque cuando una cantidad diferente de cero es elevada a la cero significa que tal cantidad es dividida por si misma dando este valor de 1. Es decir, un número dividido por sí mismo siempre da un resultado de 1. Igual esta división no se cumple cuando ese número es el cero porque cero entre cero no es 1.

$\frac{0}{0} = indefinido$

Ojalá hayas entendido todas estas leyes de los exponentes. Te recomiendo que las escribas en tu cuaderno y las practiques muchas veces ya que te van a ser muy útiles en clases posteriores en las que veremos la multiplicación y división algebraica.

Examen de la clase 4

Es muy buena idea que hagas el examen de abajo para que pruebes tu nivel de conocimiento de este importante tema de álgebra. El examen requerirá estar resgistrado en la plataforma Moodle de este sitio web.

Entrar a hacer el examen 4 en Moodle.

Clase 4 de Álgebra – Leyes de los Exponentes